Phi
De Gulden Snede is een verhouding die veel in de natuur terug te vinden is. Deze verhouding wordt aangeduid met het getal Phi:
Phi = 1.6180339887498948482...
Phi is de resulterende ratio van twee lijndelen wanneer een lijn op de volgende specifieke wijze wordt opgedeeld:
Dus waar de verhouding tussen het kleine lijndeel en het grotere lijndeel hetzelfde is als de verhouding tussen het grotere lijndeel en het geheel. Deze ratio valt te achterhalen door het snijpunt van de volgende formules te vinden:
Als je die vierkantsvergelijking oplost (met de ABC-formule), volgt daaruit de exacte verhouding:
___
\/ 5 - 1
-----------
2
Een heel leuk voorbeeld is de Auron:
vergelijk het met de lijntjes hierboven:
A:B = x:n
B:C = n:(x-n)
(A:B = B:C) = (x:n = n:(x-n))
x:n = n:(x-n) = Phi
Als je de Fibonaccireeks uitschrijft, en gaat kijken naar de verhouding tussen twee opeenvolgende getallen in de reeks, zal deze, naarmate je verder in de reeks gaat kijken, steeds nauwkeuriger Phi benaderen. Hier een klein voorbeeld van de eerste 30 getallen van de reeks, met daarachter de ratio:
0 0
1 1
2 1 1
3 2 2
4 3 1.5
5 5 1.6666...
6 8 1.6
7 13 1.625
8 21 1.61538461538..
9 34 1.61904761905..
10 55 1.61764705882..
11 89 1.618181818....
12 144 1.61797752809..
13 233 1.6180555555...
14 377 1.61802575107..
15 610 1.61803713528..
16 987 1.61803278689..
17 1597 1.61803444782..
18 2584 1.6180338134
19 4181 1.61803405573..
20 6765 1.61803396317..
21 10946 1.61803399852..
22 17711 1.61803398502..
23 28657 1.61803399018..
24 46368 1.61803398821..
25 75025 1.61803398896..
26 121393 1.61803398867..
27 196418 1.61803398878..
28 317811 1.61803398874..
29 514229 1.61803398875..
30 832040 1.61803398875..
In de natuur
Een aantal van de bekendste voorbeelden van de Gulden Snede in de natuur zijn het menselijk lichaam, DNA, lichaamstemperatuur, populatiegroei, (misschien zelfs de beurs, als je de film Pi gelooft) en een mooi voorbeeld, de Nautilus schelp:
Teken een vierkant met afmeting van het eerste element van de Fibonaccireeks. Teken daar een vierkant tegenaan, met afmeting van het tweede element van de reeks. Doe dit een hele hoop keer, in een roterende beweging, zodat je het volgende krijgt:
teken nu vanaf linksboven totaan de rechter-onderhoek van het grootste vierkant een halve cirkel, en trek deze door in een halve cirkel in het vierkant ernaast, etc. dan krijg je de Nautilus schelp:
Kunst
Phi wordt ook gebruikt in de bouw, voornamelijk bij oude griekse bouwwerken was het vaak terug te vinden. Ook wordt het soms gebruikt als leidraad in de kunst. De climax van een compositie valt meestal ongeveer samen met de gulden snede. Componist Jan Boerman gebruikte deze verhouding veelvuldig voor tijds-indelingen in zijn muziek. Verder afmetingen in schilderijen. Ook in de wiskunde en in wiskundige figuren komt het veel voor, neem bijvoorbeeld het pentagram:
Elke buitenste rib is te vergelijken met lijndeel B (hierboven) en elke binnenste rib (in de vijfhoek) is te vergelijken met lijndeel C.
De verhouding komt overeen met de muzikale sext.
Verder verhouden de omlooptijden van respectievelijk de aarde en venus rondom de zon zich ongeveer als de gulden snede.
De verhouding staat voor schoonheid en het vrouwelijke.